Traian Lalescu - mathématicien
Prezentare fundaţie
Fundația Traian Lalescu este o organizație non-profit, apolitică, non-guvernamentală, inființată in anul 2007 avand drept scop promovarea valorilor autentice ale culturii românești, atât științifice cât și artistice.
Actionând preponderent în domeniul educațional și cultural, Fundația Traian Lalescu susține talentul, efortul și reușita reale în sferele artei și științei cât și excelența în educație, facilitează accesul publicului la cunoașterea acestor valori, promovează cooperarea intelectuală natională și internatională în aceste domenii.
Prin producere și difuzare de bunuri culturale de evenimente (conferinte, sesiuni
de studii, concursuri, festivaluri, alte reuniuni) prin sprijinirea organizatorică și financiară a acțiunilor inițiate de alte persoane juridice sau fizice ce acționează în domeniile culturii și/sau educației, Fundația Traian Lalescu își propune a fi un pol al excelentei pentru valori culturale și stiintifice.
Bun venit
Într-un timp captiv cotidianului când mulți dintre noi se simt copleșiți de amestecul de valori perene cu sclipitoare trenduri efemere, de combinația amețitoare de principii de viață autentice cu fascinante idealuri de o zi și de buimăcitorul coctail de personalități adevarate cu discutabile vedete, din ce în ce mai mulți dintre noi caută modele reale la care să se raporteze, oameni de azi sau cari au fost ce pot constitui sursă de inspirație, reazăm, reper, răspuns la întrebare , partener de dialog imaginar, orizont de atins și sursă de învățăminte.
Fundația noastră poartă numele unei personalități multivalente care, asemeni atâtor alți români de seama, poate constitui un exemplu de muncă asiduă, talent matematic, creativitate științifică, nobil patriotism și deschidere culturală vastă.
Vrem să continuăm opera de o viață a matematicianului, inginerului, profesorului, omului de cultura Traian Lalescu prin acțiuni culturale și educaționale și ne dorim să reușim a le pune în slujba acelorași idei nobile ce l-au animat pe cel ce dă numele Fundației noastre. Sperăm astfel să putem propune, mai ales generațiilor tinere, un posibil pilduitor, calauzitor model.
Fundația Traian Lalescu crede în demnitatea și valorile umane. Suntem astăzi peste 100 de membri, simpatizanti și voluntari. Dacă și tu crezi în aceste valori, alătură-te fundației!
Smaranda Lalescu
Președinte
Despre Traian Lalescu
Despre Traian Lalescu personalități de prim rang ale lumii științifice spun: “Opera lui matematică are elan, are căldura” și “Traian Lalescu era interesat de idee, de eleganța demonstrației, de sensurile profunde ale teoremelor întâlnite”.
Traian Lalescu a fost un matematician de o originalitate deosebită, autor a unor lucrări ce au deschis drumuri noi în literatura de specialitate, un savant cu o putere de muncă ieșită din comun.
Teza de doctorat susținută de Traian Lalescu, la Sorbona, constituie prima contribuție românească importantă în domeniul ecuațiilor integrale, rezultatele lui Traian Lalescu putând fi considerate a fi clasice și fiind incluse în tratate de renume mondial. El elaborează, între multe alte domenii abordate cu deosebit succes (teoria maxweliană a electromagnetismului, calculul vectorian și tensorial, teoria relativității, seriile trigonometrice etc), prima monografie importantă pe plan mondial asupra ecuațiilor integrale „Introduction a la theorie des equations integrales”.
Profesorul Traian Lalescu a predat la Facultatea de Științe a Universității București, a avut un rol important în apariția Gazetei Matematice și a Revistei Matematice din Timișoara, dar mai ales a avut un aport decisiv în întemeierea, organizarea și conducerea Institutului Politehnic din Timișoara al carei prim Rector a fost și unde a format generații întregi de matematicieni.
Dar Traian Lalescu a fost o personalitate multivalenta. Poate parea surprinzator, dar acest renumit matematician s-a ocupat concomitent, serios şi asiduu de etnografia Banatului, de raportul exercițiului bugetar, de dialoguri filosofice și, cu mult har, de proprii copii…
„Istoria matematicii din țara noastra îl plasează pe profesorul Traian Lalescu alături de Gheorghe Titeica și Dimitrie Pompei în grupul întemeietorilor școlii matematice române” – afirmă acad. Edmond Nicolau, iar acad. Grigore Moisil spunea despre T. Lalescu că „Activitatea prodigioasă a acestui mare om de știință (…) constituie pentru noi o neprețuită moștenire științifică”.
SCRIS DE TRAIAN LALESCU
Personalitatea artistică a lui Henri Poincaré
L-am văzut întâia oară acum opt ani, în amfiteatrul Charles de la Sorbona, în atmosfera puţin cam solemnă a unei lecţii de deschidere. O sală plină îl aşteptă în tăcere.
Ceci est la version HTML du fichier https://profs.info.uaic.ro/~fliacob/An1/2017-2018/Privitoare%20la%20concursuri/TL_UP-Bucuresti_10-12%20mai%202018/Subiecte%20si%20baremuri/D_Barem_CTLalescu2018.pdf. Lorsque Google explore le Web, il crée automatiquement une version HTML des documents récupérés.
Astuce : Pour trouver rapidement votre terme de recherche sur cette page, appuyez sur Ctrl+F ou sur ⌘+F (Mac), puis utilisez la barre de recherche.
Page 1
Concursul studentesc national de matematic˘a ”TraianLalescu”Bucuresti, 11 mai 2018Sectiunea DBAREM DE CORECTAREProblema 10. Oficiu …1p;1. Rezolvare ecuatie sh(πt)=0 ⇒ t ∈ {ki : k ∈ Z} …1p;2. Constructie contur dreptunghiular ABCD, A(−R, 0), B(R, 0), C(R, 1),D(−R, 1), obtinerea descompuneriiI =∫ABCDf(z)dz =∫−−→ABf(z)dz +∫−−→BCf(z)dz +∫−−→CDf(z)dz +∫−−→DAf(z)dz,unde f(z) =2zsh (πz)…3p;3. Demonstratie∫−−→BCf(z)dz =∫−−→DAf(z)dz = 0 …1p;4. Demonstratie∫−−→CDf(z)dz =∫−−→ABf(z)dz =R∫−R2tsh (πt)dt …2p;5. Observatie z = 0 este punct singular aparent …0,5p;6. Calculul integralei I cu teorema semireziduurilor ⇒ I = 2 …1,5p.Problema 20. Oficiu …1p;Subpunctul a)1. Obtinere relatie u(ρ, θ) = ρ2ϕ(θ) …1p;2. Armonicitatea lui u implic˘a ϕ (θ)+4ϕ(θ) = 0 …2p;1
Page 2
3. Obtinere f(z) = z2 (prin orice metod˘a) …2p.Subpunctul b)1. Obtinere z = 0 punct singular izolat …1p;2. Calcul Rez(z = 0) =n∑k=1C2k−12n1k!⇒ I = 2πin∑k=1C2k−12n1k!..3p.Problema 30. Oficiu …1p;1. Obtinere relatie cerut˘a …1p;2. Aplicare teorema de inversare Laplace pe relatia anterior obtinut˘a ⇒4(t2f(t)) − 2tf(t) − f(t) = 0 …3p;3. Rezolvare ecuatie diferential˘a ⇒ f(t) = ct− 32 e− 14t …2p;4. Determinare constant˘a c (cu ajutorul functiei Γ): c =12√π…2p;5. Finalizare f(t) =12√πt− 32 e− 14t…1p.Problema 40. Oficiu …1p;1. Determinare puncte singulare zk = −2kπi, k ∈ Z si identificarea lor ca polide ordin n …2p;2. Aplicare teorema reziduurilor =⇒ I = 2πi · Rez (z = 0) …2p;3. Calcul Rez(z = 0) = 1, ∀n ∈ N∗ + finalizare …5p.2
Ceci est la version HTML du fichier https://profs.info.uaic.ro/~fliacob/An1/2017-2018/Privitoare%20la%20concursuri/TL_UP-Bucuresti_10-12%20mai%202018/Training%20Stuff/Solutii%20TL-B_2015-2017/Solutii_TL-B_2015.pdf. Lorsque Google explore le Web, il crée automatiquement une version HTML des documents récupérés.
Astuce : Pour trouver rapidement votre terme de recherche sur cette page, appuyez sur Ctrl+F ou sur ⌘+F (Mac), puis utilisez la barre de recherche.
Page 1
Ministerul Educatiei si Cercet˘arii StiintificeUniversitatea Transilvania din BrasovFundatia ”Traian Lalescu”Facultatea de Matematic˘a si Informatic˘aConcursul national studentesc de matematic˘a ”Traian Lalescu”editia a 8-aBrasov, 21-23 mai 2015Sectiunea BSolutii si bareme1. Fie P2 multimea polinoamelor de grad cel mult egal cu 2 cu coeficienti reali si functia J : P2 → R definit˘aprinJ(f) =∫ 10[f(x)]2 dx.Dac˘a Q = {f ∈ P2 | f(1) = 1}, ar˘atati c˘a J are minim pe Q si g˘asiti f ∈ P2 pentru care este atins.Solutie-barem.Fie f = ax2 + bx + c. Identific˘am pe f cu (a, b, c) ∈ R3…1pObtinem atunciJ(a, b, c) =∫ 10(ax2 + bx + c)2dx =a25+ab2+2ac3+b23+ bc + c2…1pFolosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange, problema revine la minimizarea functiei J : R3 → R pentru(a, b, c) ∈ Q unde multimea Q este {(a, b, c) | a + b + c = 1} …2pSe obtine sistemul2a5+ b2+ 2c3− λ = 0a2+ 2b3+ c − λ = 02a3+ b + 2c − λ = 0a + b + c = 1care are solutiile λ = 29, (a, b, c) = (103, −83, 13).Determinarea punctelor stationare. …3pStudiul diferentialei a doua. …3pDeci polinomul c˘autat estef =103x2 −83x +13.1
Page 2
Ministerul Educatiei si Cercet˘arii StiintificeUniversitatea Transilvania din BrasovFundatia ”Traian Lalescu”Facultatea de Matematic˘a si Informatic˘a2. Fie A ∈ M3® o matrice cu proprietatea A3 = A + I3.(a) S˘a se arate c˘a matricea A este inversabil˘a si s˘a se determine valorile ei proprii reale cu o zecimal˘a exact˘a.(b) S˘a se arate c˘a det A si det(A − I3) au acelasi semn.© S˘a se arate c˘a aplicatia f : M3® → R, cu f(X) = det (AXA−1), este diferentiabil˘a si s˘a se determinepunctele ei critice.Solutie-barem.a) Relatia dat˘a se poate pune sub forma A(A2 − I3) = I3 din care rezult˘a detA = 0 si A−1 = A2 − I3(inversabil˘a).Valorile proprii verific˘a ecuatia λ3 − λ − 1 = 0, iar polinomul f = X3 − X − 1 are o r˘ad˘acin˘a real˘a si dou˘ar˘ad˘acini complexe, conjugate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pAvem f(1) = −1 < 0, f(2) = 5 > 0, deci r˘ad˘acina real˘a se afl˘a ın intervalul (1, 2). Deducem c˘a valoareaproprie real˘a se afl˘a ın intervalul 1310si 1410, deci λ1∼= 1, 3. …1pb) Avem descompunerea (A − I3)(A2 + A + I3) = A.Trecând la determinanti obtinemdet(A − I3)det(A2 + A + I3) = detA…2pPentru ca sgn det(A − I3) = sgn detA este suficient ca det(A2 + A + I3) > 0.Cum A2 + A + I3 = (A + 12I3)2+ 34I3, conform propriet˘atii det(M2 + N2) = det(M + iN)det(M − iN)rezult˘a sgn(detA) = sgn(det(A − I3)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pc) Avem f(x) = detX, care este functie de 9 variabilef(x11,x12,x13,x21,x22,x23,x31,x32,x33) = detx11x12x13x21x22x23x31x32x33…1pPrin derivare partial˘a obtinem ∂f∂xij= ∆ij, i, j = 1, 2, 3. Punctele critice sunt matricele ın care ∆ij =0, ∀i, j = 1, 2, 3, deci matricele de rang 1 si matricea nul˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p2
Page 3
Ministerul Educatiei si Cercet˘arii StiintificeUniversitatea Transilvania din BrasovFundatia ”Traian Lalescu”Facultatea de Matematic˘a si Informatic˘a3. Fie n ≥ 0 un num˘ar ıntreg si T2n polinomul lui Taylor asociat functiei cosinus ın 0, adic˘aT2n(x) =n+1∑k=1(−1)k−1x2k−2(2k − 2)!,si fieIn =∫ ∞0T2n(x) − cos xx2n+2dx.(a) S˘a se arate c˘a In = −1(2n + 1)(2n)In−1, n ≥ 1.(b) S˘a se calculeze In stiind c˘a∫ ∞0sin xxdx =π2.Solutie-barem.(a) Integr˘am de dou˘a ori prin p˘arti si avem c˘aIn = −T2n(x)−cos x(2n+1)x2n+1∣∣∣∞0+ 12n+1∫∞0T2n(x)+sin xx2n+1dx= 12n+1∫∞0T2n(x)+sin xx2n+1dx= −T2n(x)+sin x(2n+1)(2n)x2n∣∣∣∞0+1(2n+1)(2n)∫∞0T2n(x)+cos xx2ndx=1(2n+1)(2n)∫∞0T2n(x)+cos xx2ndx…3pUn calcul simplu arat˘a c˘aT2n(x) =n+1∑k=2(−1)k−1x2k−3(2k − 3)!siT2n(x) =n+1∑k=2(−1)k−1x2k−4(2k − 4)!= −n∑i=1(−1)i−1x2i−2(2i − 2)!= −T2n−2(x)… 2pPrin urmareIn = −1(2n + 1)(2n)∫ ∞0T2n−2(x) − cosxx2ndx = −1(2n + 1)(2n)In−1… 1p(b) Valoarea integralei este(−1)n2(2n + 1)!π.Avem, pe baza formulei de recurent˘a, c˘aIn =(−1)n(2n + 1)(2n)…3 · 2I0 =(−1)n(2n + 1)!∫ ∞01 − cosxx2dx.3
Page 4
… 2pCalcul˘am integrala prin p˘arti si avem∫ ∞01 − cosxx2dx = −1 − cosxx∣∣∣∣∞0+∫ ∞0sinxxdx =π2,de unde rezult˘a c˘aIn =(−1)n2(2n + 1)!π.Problema este rezolvat˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p4
Page 5
Ministerul Educatiei si Cercet˘arii StiintificeUniversitatea Transilvania din BrasovFundatia ”Traian Lalescu”Facultatea de Matematic˘a si Informatic˘a4. (a) Fie p ≥ 3 un num˘ar prim si A ∈ Mp© o matrice cu proprietatea Tr A = 0 si det(A − Ip) = 0. S˘ase arate c˘a Ap = Ip.(b) S˘a se arate c˘a pentru orice num˘ar natural neprim n ≥ 4 exist˘a matrice A ∈ Mn© cu propriet˘atileTr A = 0, det(A − In) = 0 si An = In.Solutie-barem.(a) Dac˘a prin absurd Ap = Ip atunci(A − Ip)(Ip + A + A2 + … + Ap−1)=0.Deoarece matricea A − Ip este inversabil˘a, rezult˘aIp + A + A2 + … + Ap−1 = 0.Valorile proprii ale matricei A verific˘a ecuatia1 + λ + λ2 + … + λp−1 = 0,…2pdeci λ este r˘ad˘acin˘a a polinomului Φp =1+ x + x2 + … + xp−1 ∈ Q[x] care este polinom ireductibil ın Q[x](polinomul ciclotomic Φp). Notând ϵ = cos 2πp+ i sin 2πpvalorile proprii apartin multimii {ϵ, ϵ2,…,ϵp−1}…1pNotând cu n1,n2,…,np−1 ∈ N multiplicit˘atile valorilor proprii λ1 = ϵ, λ2 = ϵ2,…,λp−1 = ϵp−1 avemn1 + n2 + … + np−1 = p siTrA = n1ϵ + n2ϵ2 + … + np−1ϵp−1 = 0…2pDac˘a ad˘aug˘am n0 = 0, ultima relatie devinen0 · 1 + n1ϵ + n2ϵ2 + … + np−1ϵp−1 = 0.(∗)Consider˘am polinomul P = n0 · 1 + n1x + n2x2 + … + np−1xp−1 ∈ Q[x], care are conform (*) r˘ad˘acina ϵ. Decipolinoamele P si Φp nu sunt prime ıntre ele si deoarece Φp este ireductibil, rezult˘a c˘a Φp divide P si fiind deacelasi grad rezult˘a c˘a P = q · Φp, q ∈ Q. Deci n0 = n1 = n2 = ··· = np−1 = 0 care nu verific˘a conditian1 + n2 + … + np−1 = p …2p(b) Fie n = pq, p ≥ 2, q ≥ 2 si ϵ = cos 2πn+ i sin 2πn. Definim matricea diagonal˘a D ∈ Mq© care are pediagonal˘a numerele λ1 = ϵ, λ2 = ϵ1+p, λ3 = ϵ1+2p, … , λq = ϵ1+(q−1)p si matricea A ∈ Mn©, matrice blocdiagonal˘a, care are pe diagonal˘a p blocuri egale cu D. Matricea A are valorile proprii λ1, λ2, … , λq fiecaremultipl˘a de ordinul p, astfel c˘aTrA = p(λ1 + λ2 + ··· + λq) = pϵ(1 + ϵp + ϵ2p + · + ϵ(q−1)p) = pϵϵpq − 1ϵp − 1= pϵϵn − 1ϵp − 1= 0 .Deoarece λ1 = 1, λ2 = 1, … , λq = 1, rezult˘a c˘a det(A − In) = 0 si An = In (λn1 = λn2 = ··· = λnq = 1). . . . . 3p5